UNE APPROCHE DES MULTIPLES (fin)
MULTIPLES DE 7

 

 

Les multiples de 7 s'organisent autour de 6 feuilles d'une fleur à 6 pétales (ici, il n'y a que 3 séries de feuilles et 3 pétales utilisés).

Quels sont leurs caractéristiques ?

 

6

(temps d'évocation et de rechercheJ)

 

Les dix premiers multiples de 7 (ceux de la "table de 7" de l'école primaire) ont été disposés sur la fleur de façon à ce que, pour sauter d'une feuille à la suivante, dans le même pétale, on retranche 3 aux unités et on ajoute 1 aux dizaines.

 

Apparemment, tout bouge : cherchons un point fixe…

Nous nous attendions peut-être à ce que comme les multiples de 2 ou ceux de 5, nous puissions reconnaî-tre les multiples de 7 par leur chiffre final (celui des unités)…

Mais cela ne marche pas : les multiples de 7 finissent par 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 ou 9… donc impossible de les reconnaître comme ça !

Nous aurions sans doute espéré que comme pour les multiples de 3 (ou de 9), la somme des chiffres fasse quelque chose de particulier.

Mais là non plus, rien (de singulier) n'apparaît.

Puisque regarder et additionner ne suffit plus, que c'est devenu plus "complexe", passons à l'échelon au-dessus… utilisons une opération plus complexe que l'addition : la multiplication !

Pour les multiples de 2 et 5, il suffisait de regarder (le chiffre des unités).

Pour les multiples de 3, nous utilisons l'opérateur plus et nous regardons.

Pour les multiples de 7… utilisons en plus l'opérateur multiplié !

 

Commençons sur cette piste, prenons 7.

Par quoi dois-je multiplier 7 pour trouver un multiple de 7 ?... Par 1 bien sûr (l'élément neutre de la multi-plication diront les mathématiciens). Partons donc de cette règle : multiplier le chiffre des unités par 1.

Poursuivons la piste avec le multiple suivant, 14.

Le chiffre des unités est 4, nous le multiplions donc par 1 (comme découvert juste avant), cela donne 4.

La question est alors : par quoi dois-je multiplier 1 (le chiffre des dizaines de 14) pour que le produit (le résultat), additionné à 4, fasse un multiple de 7 ?

La réponse la plus simple est : par 3 !

Cela donne : 1 x 4 + 3 x 1 = 7 : ça colle.

Nous retrouvons le (+) 1 et le (-) 3 de la fleur :

Essayons de voir, avec 7, 14 et le multiple suivant, 21, si multiplier le chiffre des dizaines par 3 et ajouter au résultat une fois le chiffre des unités nous permet de trouver un multiple de 7 :

Pour 7 :    7 x 1 + 0 x 3 = 7 + 0 = 7

Pour 14  : 4 x 1 + 1 x 3 = 4 + 3 = 7

Pour 21  : 1 x 1 + 2 x 3 = 1 + 6 = 7

 

Ici, j'ai commencé par les unités car lorsqu'on construit un nombre entier, on commence bien par les unités !...

Un nombre s'écrirait de gauche à droite mais se construirait de droite à gauche ?!... tiens, tiens, à creuser…

 

Faisons de même avec tous les multiples de 7 à deux chiffres (14, 21, 28, 35, 42, 49, 56, 63, 70, 77, 84, 91, 98), à savoir faire la somme du produit de 1 par  le chiffre des unités et du produit de 3 par le chiffre des dizaines. Cela "marche" : nous trouvons toujours un multiple de 7 comme dans le tableau suivant.

 

Pour 7 à 98 :

 

Multiple

3 fois chiffre des dizaines

1 fois chiffre des unités

somme

le somme fait 7 fois…

  7

0 x 3 = 0

7 x 1 = 7

0 + 7 = 7


1

14

1 x 3 = 3

4 x 1 = 4

3 + 4 = 7

21

2 x 3 = 6

1 x 1 = 1

6 + 1 = 7

28

2 x 3 = 6

8 x 1 = 8

6 + 8 = 14


2

35

3 x 3 = 9

5 x 1 = 5

9 + 5 = 14

42

4 x 3 = 12

2 x 1 = 2

12 + 2 = 14

49

4 x 3 = 12

9 x 1 = 9

12 + 9 = 21

 

3

56

5 x 3 = 15

6 x 1 = 6

15 + 6 = 21

63

6 x 3 = 18

3 x 1 = 3

18 + 3 = 21

70

7 x 3 = 21

0 x 1 = 0

21 + 0 = 21

77

7 x 3 = 21

7 x 1 = 7

21 + 7 = 28

 

4

84

8 x 3 = 24

4 x 1 = 4

24 + 4 = 28

91

9 x 3 = 27

1 x 1 = 1

27 + 1 = 28

98

9 x 3 = 27

8 x 1 = 8

27 + 8 = 35

5

 

Nous pourrions poursuivre la recherche de la structure avec le multiple après 98, qui est 105 : par quoi multiplier 1, 0 et 5 pour que la somme des produits soit un multiple de 7 ?...

Réponse : on multiplie 5 par 1, 0 par 3 pour suivre le chemin tracé : du coup il faut multiplier 1 par 2.

Cela donne : 1 x 2 + 0 x 3 + 1 x 5 = 7 !

En procédant de la même manière avec les multiples de 7 qui s'écrivent avec 4 chiffres, puis 5, puis 6, 7 etc., nous trouverons une règle générale.

 

Mais avant de l'énoncer, arrêtons-nous déjà sur la règle simple suivante :

Pour savoir si un nombre (entier) à deux chiffres est un multiple de 7 (ou divisible par 7), je multiplie son chiffre des dizaines par 3, j'ajoute le résultat à son chiffre des unités : si la somme est un multiple de 7, alors le nombre est un multiple de 7

 

Exemple  : 84 est-il multiple de 7 ?

Dans 84, le chiffre des dizaines est 8.

Je fais 8 x 3 = 24

J'ajoute le chiffre des unités de 84, qui est 4, à 24, cela donne 24 + 4 = 28.

28 est un multiple de 7, donc 84 aussi !

 

Note : si je ne sais pas si 28 est multiple de 7, je réitère (= recommence) l'algorithme (= le pro-cessus de calcul).

28 = 2 dizaines + 8 unités.

2 x 3 + 8 x 1 = 6 + 8 = 14.

Et si nous ne savons toujours pas que 14 est multiple de 7 L, soit on se précipite sur la révision de ses tables (en utilisant par exemple le jeu mis au point par Armelle Géninet), soit on réitère l'algorithme :

14 = 1 dizaine + 4 unités.

1 x 3 + 4 x 1 = 3 + 4 = 7 ! ouf ! J

 

Contre-exemple : 86 est-il multiple de 7 ?

Dans 86, le chiffre des dizaines est 8.

Je fais 8 x 3 = 24

J'ajoute le chiffre des unités de 86, qui est 6, à 24, cela donne 24 + 6 = 30.

30 n'est pas un multiple de 7, donc 86 non plus !

 

Et voici la règle générale :

Un nombre (entier) est un multiple de 7 (ou est divisible par 7) si les différents chiffres de ce nombre pris à l'envers, multipliés successivement par 1, 3, 2, 6, 4 et 5 puis additionnés donnent un multiple de 7.

 

Exemple : 7 631 484 est-il multiple de 7 ?

 

7

6

3

1

4

8

4

x 1

x 5

x 4

x 6

x 2

x 3

x1

7

30

12

6

8

24

4

                                      7  +   30  + 12    + 6     +   8    + 24   +   4  = 91

91 est multiple de 7 ( 13 x 7 ), donc 7 631 484 aussi !

 

Si vous voulez trouver la fleur à 6 pétales, il faut énumérer les multiples jusqu'à 399 pour voir apparaître le pétale 6. En n'inscrivant que le premier multiple de chaque pétale, nous obtenons une figure de ce style :

Les curieux auront remarqué que dans les deux triangles intérieurs, en lisant dans le sens contraire des aiguilles d'une montre, nous retrouvons 14, 42 et 21 pour l'un, et 35, 56 et 63 pour l'autre : des multiples de 7 !

J'espère que vous aurez fait des pauses pour lire cet article ;-)


F.C.R.R.